Упр.31.29 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдите корни уравнения $$\cos 4x+\frac{10\operatorname{tg}x}{1+\operatorname{tg}^2x}=3$$, принадлежащие отрезку $$[-2;1{,}4]$$.

Преобразуем уравнение:

$$\cos^2 x-\cos x-\sin^2 x=0.$$

Так как $$\cos^2 x-\sin^2 x=\cos 2x,$$ получаем

$$\cos 2x-\cos x=0.$$

Используем формулу разности косинусов:

$$\cos 2x-\cos x=-2\sin \frac{2x+x}{2}\sin \frac{2x-x}{2}=-2\sin \frac{3x}{2}\sin \frac{x}{2}.$$

Тогда

$$-2\sin \frac{3x}{2}\sin \frac{x}{2}=0,$$

откуда

$$\sin \frac{3x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \sin \frac{x}{2}=0.$$

1) $$\sin \frac{3x}{2}=0 \Rightarrow \frac{3x}{2}=\pi n \Rightarrow x=\frac{2\pi n}{3}, \quad n\in \mathbb{Z}.$$

2) $$\sin \frac{x}{2}=0 \Rightarrow \frac{x}{2}=\pi n \Rightarrow x=2\pi n, \quad n\in \mathbb{Z}.$$

Теперь найдём корни на отрезке $$[-2;1{,}4].$$

Для первой серии:

$$-2\le \frac{2\pi n}{3}\le 1{,}4.$$

Подходят только $$n=-1,0,$$ поэтому получаем

$$x=-\frac{2\pi}{3},\ 0.$$

Для второй серии:

$$-2\le 2\pi n\le 1{,}4.$$

Подходит только $$n=0,$$ поэтому получаем

$$x=0.$$

Итак, на данном отрезке корни уравнения:

$$-\frac{2\pi}{3},\ 0.$$

Ответ: $$-\frac{2\pi}{3},\ 0.$$