Упр.31.28 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

$$\frac{\cos^2 x-\cos x-\sin^2 x}{1-\cos 2x-\sin x}=0$$

Преобразуем левую часть уравнения:

$$\left(\sin 2x+\sqrt3\cos 2x\right)^2=2+2\cos\left(\frac{\pi}{6}-2x\right).$$

Так как

$$\sin 2x+\sqrt3\cos 2x=2\cos\left(2x-\frac{\pi}{6}\right),$$

то получаем

$$4\cos^2\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)=2+2\cos\left(2x-\frac{\pi}{6}\right).$$

Пусть

$$y=\cos\left(2x-\frac{\pi}{6}\right).$$

Тогда

$$4y^2=2+2y,$$

$$4y^2-2y-2=0,$$

$$2y^2-y-1=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=1+8=9,$$

$$y_1=\frac{1-3}{4}=-\frac12,\qquad y_2=\frac{1+3}{4}=1.$$

1) Если $$\cos\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac12,$$ то

$$2x-\frac{\pi}{6}=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{12}\pm\frac{\pi}{3}+\pi n.$$

2) Если $$\cos\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)=1,$$ то

$$2x-\frac{\pi}{6}=2\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{12}+\pi n.$$

Объединяя оба случая, получаем общую формулу:

$$x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

Теперь учитываем неравенство

$$\frac{x^2-x-12}{x^2+x+3}\le 0.$$

Знаменатель всегда положителен, так как

$$D=1-12=-11<0,\qquad a=1>0.$$

Значит, нужно решить только

$$x^2-x-12\le 0,$$

$$\left(x+3\right)\left(x-4\right)\le 0,$$

$$-3\le x\le 4.$$

Подставим найденные корни уравнения в этот промежуток:

$$-3\le \frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}\le 4.$$

Отсюда

$$-36\le \pi+4\pi n\le 48,$$

$$-36-\pi\le 4\pi n\le 48-\pi,$$

$$-\frac{36+\pi}{4\pi}\le n\le \frac{48-\pi}{4\pi}.$$

Следовательно, подходят целые значения

$$n=-3,-2,-1,0,1,2,3.$$

Ответ: $$7.$$