Упр.31.27 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

$$\left(\sin 2x+\sqrt{3}\cos 2x\right)^2=2+2\cos\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)$$

$$\cos 4x+\frac{10\tg x}{1+\tg^2 x}=3.$$

Так как

$$\frac{2\tg x}{1+\tg^2 x}=\sin 2x,$$

то уравнение можно переписать в виде

$$\cos 4x+5\sin 2x=3.$$

Используем формулу $$\cos 4x=1-2\sin^2 2x$$:

$$1-2\sin^2 2x+5\sin 2x-3=0,$$

$$2\sin^2 2x-5\sin 2x+2=0.$$

Положим $$y=\sin 2x$$. Тогда

$$2y^2-5y+2=0,$$

$$D=25-16=9,$$

$$y_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4}.$$

Получаем:

$$y_1=\frac12,\qquad y_2=2.$$

Значение $$\sin 2x=2$$ невозможно, поэтому остаётся

$$\sin 2x=\frac12.$$

Тогда

$$2x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}.$$

Отбираем корни, принадлежащие отрезку $$[-2;1{,}4]$$:

$$x=-\frac{7\pi}{12},\ \frac{\pi}{12},\ \frac{5\pi}{12}.$$

Ответ

$$-\frac{7\pi}{12};\ \frac{\pi}{12};\ \frac{5\pi}{12}.$$