Упр.31.26 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

$$\sin x-5\sin\left(7x+\frac{\pi}{6}\right)=4\cos x$$

Преобразуем левую часть уравнения:

$$3\sin x-5\sin\left(7x+\frac{\pi}{6}\right)=4\cos x$$

$$3\sin x-4\cos x=5\sin\left(7x+\frac{\pi}{6}\right).$$

Представим выражение $$3\sin x-4\cos x$$ в виде одной синусоиды:

$$3\sin x-4\cos x=5\sin(x-t),$$

где $$\cos t=\frac35,\quad \sin t=\frac45,\quad t=\arccos\frac35.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$5\sin(x-t)=5\sin\left(7x+\frac{\pi}{6}\right),$$

или

$$\sin\left(7x+\frac{\pi}{6}\right)-\sin(x-t)=0.$$

Используем формулу разности синусов:

$$2\sin\frac{\left(7x+\frac{\pi}{6}\right)-(x-t)}{2}\cdot \cos\frac{\left(7x+\frac{\pi}{6}\right)+(x-t)}{2}=0,$$

откуда

$$2\sin\left(3x+\frac{t}{2}+\frac{\pi}{12}\right)\cos\left(4x-\frac{t}{2}+\frac{\pi}{12}\right)=0.$$

Следовательно,

1. $$\sin\left(3x+\frac{t}{2}+\frac{\pi}{12}\right)=0,$$

   $$3x+\frac{t}{2}+\frac{\pi}{12}=\pi n,$$

   $$x=-\frac{t}{6}-\frac{\pi}{36}+\frac{\pi n}{3}.$$

2. $$\cos\left(4x-\frac{t}{2}+\frac{\pi}{12}\right)=0,$$

   $$4x-\frac{t}{2}+\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

   $$x=\frac{t}{8}+\frac{5\pi}{48}+\frac{\pi n}{4}.$$

Подставляя $$t=\arccos\frac35,$$ получаем:

$$x=-\frac{1}{6}\arccos\frac35-\frac{\pi}{36}+\frac{\pi n}{3},\qquad x=\frac{1}{8}\arccos\frac35+\frac{5\pi}{48}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$x=-\frac{1}{6}\arccos\frac35-\frac{\pi}{36}+\frac{\pi n}{3},\quad x=\frac{1}{8}\arccos\frac35+\frac{5\pi}{48}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z.$$