Упр.31.25 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$3\cos(x+1)-4\sin(x+1)=5$$; б) $$15\sin(2x-3)+8\cos(2x-3)=8{,}5$$.

а) $$3\cos(x+1)-4\sin(x+1)=5.$$

Представим левую часть в виде одной косинусоиды:

$$4\sin(x+1)-3\cos(x+1)=-5,$$

$$5\cos\left((x+1)+\arccos\frac35\right)=-5.$$

Тогда

$$\cos\left(x+1+\arccos\frac35\right)=-1.$$

Следовательно,

$$x+1+\arccos\frac35=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Отсюда

$$x=-1-\arccos\frac35+\pi+2\pi n.$$

Так как $$\pi=\arccos(-1),$$ можно записать ответ в стандартном виде:

$$x=-1-\arccos\frac35+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$15\sin(2x-3)+8\cos(2x-3)=8{,}5.$$

Сведём левую часть к одной косинусоиде:

$$17\cos\left((2x-3)-\arccos\frac{8}{17}\right)=\frac{17}{2}.$$

Тогда

$$\cos\left(2x-3-\arccos\frac{8}{17}\right)=\frac12.$$

Значит,

$$2x-3-\arccos\frac{8}{17}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Отсюда

$$x=\frac32+\frac12\arccos\frac{8}{17}\pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=-1-\arccos\frac35+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac32+\frac12\arccos\frac{8}{17}\pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$