Упр.31.24 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите уравнение: $$\sin 5x+\cos 5x=\sqrt{2}\cos 13x$$.

Преобразуем левую часть:

$$\sin 5x+\cos 5x=\sqrt{2}\cos\left(5x-\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда уравнение принимает вид

$$\sqrt{2}\cos\left(5x-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\cos 13x,$$

или

$$\cos\left(5x-\frac{\pi}{4}\right)=\cos 13x.$$

Используем формулу $$\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}.$$ Получаем:

$$\cos 13x-\cos\left(5x-\frac{\pi}{4}\right)=0,$$

$$-2\sin\frac{13x+5x-\frac{\pi}{4}}{2}\sin\frac{13x-\left(5x-\frac{\pi}{4}\right)}{2}=0,$$

$$\sin\left(9x-\frac{\pi}{8}\right)\sin\left(4x+\frac{\pi}{8}\right)=0.$$

Следовательно,

1. $$\sin\left(4x+\frac{\pi}{8}\right)=0,$$

   $$4x+\frac{\pi}{8}=\pi n,\quad n\in\mathbb{Z},$$

   $$x=-\frac{\pi}{32}+\frac{\pi n}{4}.$$

2. $$\sin\left(9x-\frac{\pi}{8}\right)=0,$$

   $$9x-\frac{\pi}{8}=\pi n,\quad n\in\mathbb{Z},$$

   $$x=\frac{\pi}{72}+\frac{\pi n}{9}.$$

Ответ: $$x=-\frac{\pi}{32}+\frac{\pi n}{4},\; x=\frac{\pi}{72}+\frac{\pi n}{9},\; n\in\mathbb{Z}.$$