Упр.31.23 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\cos\frac{4x}{3}=\cos 2x$$

б) $$32\cos^6 x-\cos 6x=1$$

а) Преобразуем уравнение:

$$\cos \frac{4x}{3}=\cos^2 x$$

Умножим обе части на $$2$$:

$$2\cos \frac{4x}{3}=2\cos^2 x$$

Используем формулы $$2\cos^2 x=1+\cos 2x$$ и $$\cos 2x=2\cos^2 \frac{2x}{3}-1$$:

$$2\left(2\cos^2 \frac{2x}{3}-1\right)=1+\cos \left(3\cdot \frac{2x}{3}\right)$$

$$4\cos^2 \frac{2x}{3}-2=1+\left(4\cos^3 \frac{2x}{3}-3\cos \frac{2x}{3}\right)$$

Положим $$y=\cos \frac{2x}{3}$$. Тогда получаем:

$$4y^2-2=1+4y^3-3y$$

$$4y^3-4y^2-3y+3=0$$

$$4y^2(y-1)-3(y-1)=0$$

$$\left(4y^2-3\right)(y-1)=0$$

Отсюда:

$$y=1 \quad \text{или} \quad y=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$$

1) Если $$\cos \frac{2x}{3}=1$$, то

$$\frac{2x}{3}=2\pi n,\quad x=3\pi n$$

2) Если $$\cos \frac{2x}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$, то

$$\frac{2x}{3}=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad x=\pm \frac{\pi}{4}+3\pi n$$

3) Если $$\cos \frac{2x}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$, то

$$\frac{2x}{3}=\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad x=\pm \frac{5\pi}{4}+3\pi n$$

Но эти значения уже входят в общий вид $$x=\pm \frac{\pi}{4}+\frac{3\pi n}{2}$$, поэтому окончательно:

б) Решим уравнение:

$$32\cos^6 x-\cos 6x=1$$

Используем формулы:

$$\cos^6 x=\left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)^3,\qquad \cos 6x=4\cos^3 2x-3\cos 2x$$

Тогда

$$32\left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)^3-\left(4\cos^3 2x-3\cos 2x\right)=1$$

$$4(1+\cos 2x)^3-4\cos^3 2x+3\cos 2x=1$$

Положим $$y=\cos 2x$$. Получаем:

$$4(1+y)^3-4y^3+3y=1$$

$$4+12y+12y^2+4y^3-4y^3+3y-1=0$$

$$12y^2+15y+3=0$$

$$4y^2+5y+1=0$$

$$\left(4y+1\right)(y+1)=0$$

Отсюда:

$$y=-1 \quad \text{или} \quad y=-\frac14$$

1) Если $$\cos 2x=-1$$, то

$$2x=\pi+2\pi n,\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

2) Если $$\cos 2x=-\frac14$$, то

$$2x=\pm \arccos\left(-\frac14\right)+2\pi n,\quad x=\pm \frac12\arccos\left(-\frac14\right)+\pi n$$

Ответ: а) $$x=\pm \frac{\pi}{4}+\frac{3\pi n}{2},\; x=3\pi n$$; б) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; x=\pm \frac12\arccos\left(-\frac14\right)+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$.