Упр.31.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

$$2(1-\sin x-\cos x)+\operatorname{tg}x+\operatorname{ctg}x=0$$

Преобразуем уравнение:

$$2(1-\sin x-\cos x)+\tg x+\ctg x=0.$$

Так как

$$\tg x+\ctg x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x},$$

то

$$2-2(\sin x+\cos x)+\frac{1}{\sin x\cos x}=0.$$

Обозначим $$y=\sin x+\cos x.$$ Тогда

$$\sin x\cos x=\frac{(\sin x+\cos x)^2-1}{2}=\frac{y^2-1}{2}.$$

Получаем уравнение

$$2-2y+\frac{2}{y^2-1}=0.$$

Умножим на $$y^2-1$$:

$$2(y^2-1)-2y(y^2-1)+2=0,$$

$$2y^2-2-2y^3+2y+2=0,$$

$$-2y^3+2y^2+2y=0,$$

$$y(y^2-y-1)=0.$$

Отсюда:

1. $$y=0,$$ то есть

   $$\sin x+\cos x=0,$$

   $$\tg x=-1,$$

   $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$y^2-y-1=0,$$

   $$y=\frac{1\pm\sqrt5}{2}.$$

   Значение $$\frac{1+\sqrt5}{2}>\sqrt2$$ не подходит, так как $$\sin x+\cos x\le \sqrt2.$$

   Остаётся

   $$\sin x+\cos x=\frac{1-\sqrt5}{2}.$$

   Представим левую часть в виде

   $$\sqrt2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1-\sqrt5}{2},$$

   тогда

   $$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1-\sqrt5}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt2-\sqrt{10}}{4}.$$

   Следовательно,

   $$x-\frac{\pi}{4}=\pm\arccos\frac{\sqrt2-\sqrt{10}}{4}+2\pi n,$$

   $$x=\frac{\pi}{4}\pm\arccos\frac{\sqrt2-\sqrt{10}}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n;\quad x=\frac{\pi}{4}\pm\arccos\frac{\sqrt2-\sqrt{10}}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$