Упр.31.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Применив подстановку $$y=\cos x-\sin x$$, решите уравнение $$4-4(\cos x-\sin x)=\sin 2x$$.

Положим $$y=\cos x-\sin x.$$ Тогда исходное уравнение

$$4-4(\cos x-\sin x)=\sin 2x$$

можно переписать так:

$$4-4y=\sin 2x.$$

Так как $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$, а

$$y^2=(\cos x-\sin x)^2=\cos^2 x+\sin^2 x-2\sin x\cos x=1-\sin 2x,$$

то $$\sin 2x=1-y^2.$$ Подставим это в уравнение:

$$4-4y=1-y^2,$$

$$y^2-4y+3=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=16-12=4,$$

$$y_{1,2}=\frac{4\pm 2}{2}.$$

Получаем:

$$y_1=1,\qquad y_2=3.$$

Но $$y=\cos x-\sin x$$, а значит

$$- \sqrt{2}\le \cos x-\sin x\le \sqrt{2},$$

поэтому значение $$y=3$$ не подходит.

Остаётся уравнение

$$\cos x-\sin x=1.$$

Преобразуем его:

$$\sqrt{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1,$$

$$\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Тогда

$$x+\frac{\pi}{4}=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Отсюда

$$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

$$x=2\pi n,\; x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb{Z}.$$