Упр.31 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\frac{2x-5}{x+4}>0$$

Разложим числитель:

$$2x-5=2\left(x-\frac52\right)$$

Тогда

$$\frac{2\left(x-\frac52\right)}{x+4}>0$$

Число $$2$$ на знак не влияет, поэтому рассматриваем неравенство

$$\frac{x-\frac52}{x+4}>0$$

Критические точки: $$x=-4$$ и $$x=\frac52$$.

Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака:

$$x\in(-\infty,-4)\cup\left(\frac52,+\infty\right)$$

б) $$\frac{12-4x}{2x+5}>0$$

Разложим числитель:

$$12-4x=4(3-x)=-4(x-3)$$

Тогда

$$\frac{-4(x-3)}{2x+5}>0$$

Делим на отрицательное число $$-4$$, меняя знак неравенства:

$$\frac{x-3}{2x+5}<0$$

Критические точки: $$x=3$$ и $$x=-\frac52$$.

Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель разных знаков:

$$-\frac52<x<3$$

в) $$\frac{2-x}{3-4x}>0$$

Критические точки: $$x=2$$ и $$x=\frac34$$.

Преобразуем неравенство:

$$\frac{2-x}{3-4x}>0 \iff \frac{x-2}{4x-3}>0$$

Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака:

$$x<\frac34 \quad \text{или} \quad x>2$$

Итак,

$$x\in\left(-\infty,\frac34\right)\cup(2,+\infty)$$

Ответ

а) $$(-\infty,-4)\cup\left(\frac52,+\infty\right)$$; б) $$\left(-\frac52,3\right)$$; в) $$\left(-\infty,\frac34\right)\cup(2,+\infty)$$.