Упр.31.2 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$\sin x\sin 5x=\cos 4x$$; б) $$\cos x\cos 5x=\cos 6x$$.

а) Используем формулу произведения в сумму:

$$\sin x\sin 5x=\frac{\cos( x-5x)-\cos( x+5x)}{2}=\frac{\cos 4x-\cos 6x}{2}.$$

Тогда

$$\frac{\cos 4x-\cos 6x}{2}=\cos 4x,$$

$$\cos 4x-\cos 6x=2\cos 4x,$$

$$\cos 4x+\cos 6x=0.$$

Применим формулу суммы косинусов:

$$2\cos\frac{4x+6x}{2}\cos\frac{4x-6x}{2}=0,$$

$$2\cos 5x\cos x=0.$$

Отсюда

$$\cos 5x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0.$$

1) $$\cos 5x=0 \Rightarrow 5x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5}=\frac{\pi(1+2n)}{10}.$$

2) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n=\frac{\pi(1+2n)}{2},\; n\in\mathbb Z.$$

Но эти значения входят в общий вид $$x=\frac{\pi(1+2n)}{10}$$ при подходящих целых $$n$$, поэтому множество решений можно записать так:

$$x=\frac{\pi(1+2n)}{10},\; n\in\mathbb Z.$$

б) Используем формулу произведения в сумму:

$$\cos x\cos 5x=\frac{\cos( x+5x)+\cos( x-5x)}{2}=\frac{\cos 6x+\cos 4x}{2}.$$

Тогда

$$\frac{\cos 6x+\cos 4x}{2}=\cos 6x,$$

$$\cos 4x-\cos 6x=0.$$

Применим формулу разности косинусов:

$$-2\sin\frac{4x+6x}{2}\sin\frac{4x-6x}{2}=0,$$

$$-2\sin 5x\sin(-x)=0,$$

$$2\sin 5x\sin x=0.$$

Отсюда

$$\sin 5x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=0.$$

1) $$\sin 5x=0 \Rightarrow 5x=\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi n}{5}.$$

2) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Но все значения $$x=\pi n$$ входят в множество $$x=\frac{\pi n}{5}$$, поэтому ответ:

$$x=\frac{\pi n}{5},\; n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi(1+2n)}{10},\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{\pi n}{5},\; n\in\mathbb Z.$$