Упр.31.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

$$\sin 2x+\operatorname{tg}x=2$$

Положим $$t=\tg x.$$ Тогда

$$\sin 2x=\frac{2\tg x}{1+\tg^2 x}=\frac{2t}{1+t^2}.$$

Получаем уравнение

$$\frac{2t}{1+t^2}+t=2.$$

Умножим на $$1+t^2$$:

$$2t+t(1+t^2)=2(1+t^2),$$

$$2t+t+t^3=2+2t^2,$$

$$t^3-2t^2+3t-2=0.$$

Разложим на множители:

$$t^3-2t^2+3t-2=(t-1)(t^2-t+2).$$

Тогда

$$t-1=0 \quad \text{или} \quad t^2-t+2=0.$$

Из первого уравнения:

$$t=1,\qquad \tg x=1,\qquad x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Для второго уравнения:

$$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot 2=1-8=-7<0,$$

действительных корней нет.

Ответ: $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$