Упр.31.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите уравнение: а) $$3\sin 2x+\cos 2x=2$$; б) $$\cos 4x+2\sin 4x=1$$.

а) Пусть $$y=\tg x.$$ Тогда

$$3\sin 2x+\cos 2x=2$$

$$3\cdot \frac{2y}{1+y^2}+\frac{1-y^2}{1+y^2}=2.$$

Умножим на $$1+y^2$$:

$$6y+1-y^2=2+2y^2,$$

$$3y^2-6y+1=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-6)^2-4\cdot 3\cdot 1=36-12=24,$$

$$y=\frac{6\pm \sqrt{24}}{6}=\frac{6\pm 2\sqrt6}{6}=\frac{3\pm \sqrt6}{3}.$$

Значит,

$$\tg x=\frac{3\pm \sqrt6}{3},$$

откуда

$$x=\arctg \frac{3\pm \sqrt6}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Проверка показывает, что посторонних корней нет.

б) Используем формулы двойного угла:

$$\cos 4x+2\sin 4x=1,$$

$$\cos^2 2x-\sin^2 2x+4\sin 2x\cos 2x=1.$$

Так как $$\cos^2 2x=1-\sin^2 2x,$$ получаем

$$1-2\sin^2 2x+4\sin 2x\cos 2x=1,$$

$$-2\sin^2 2x+4\sin 2x\cos 2x=0,$$

$$2\sin 2x\bigl(2\cos 2x-\sin 2x\bigr)=0.$$

Отсюда:

$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos 2x-\sin 2x=0.$$

1) $$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb Z.$$

2) $$2\cos 2x-\sin 2x=0 \Rightarrow \tg 2x=2,$$

$$2x=\arctg 2+\pi n \Rightarrow x=\frac12 \arctg 2+\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\arctg \frac{3\pm \sqrt6}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{\pi n}{2},\quad x=\frac12 \arctg 2+\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb Z.$$