Упр.31.16 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

$$\operatorname{tg} x+\operatorname{ctg} x=3+\cos 4x$$

$$\tg x+\ctg x=3+\cos 4x.$$

Преобразуем левую часть:

$$\tg x+\ctg x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{2}{\sin 2x}.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$\frac{2}{\sin 2x}=3+\cos 4x.$$

Так как $$\cos 4x=2\cos^2 2x-1=1-2\sin^2 2x,$$ получаем

$$\frac{2}{\sin 2x}=4-2\sin^2 2x.$$

Обозначим $$y=\sin 2x$$, тогда

$$\frac{2}{y}=4-2y^2,$$

$$2=4y-2y^3,$$

$$y^3-2y+1=0.$$

Разложим на множители:

$$y^3-2y+1=(y-1)(y^2+y-1).$$

Отсюда

$$y-1=0 \quad \text{или} \quad y^2+y-1=0.$$

1) $$y=1,$$ то есть

$$\sin 2x=1,$$

$$2x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

2) $$y^2+y-1=0,$$ тогда

$$D=1+4=5,$$

$$y_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}.$$

Значение $$\frac{-1-\sqrt5}{2}<-1$$ не подходит, а

$$\sin 2x=\frac{\sqrt5-1}{2}.$$

Следовательно,

$$2x=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt5-1}{2}+\pi n,$$

$$x=(-1)^n\frac12\arcsin\frac{\sqrt5-1}{2}+\frac{\pi n}{2}.$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad x=(-1)^n\frac12\arcsin\frac{\sqrt5-1}{2}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$