Упр.31.14 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$\cos 4x + 5\cos^2 x = 0{,}75$$; б) $$\cos 4x + 3\sin^2 x = 0{,}25$$.
а) Преобразуем выражение:
$$\cos 4x+5\cos^2 x=0{,}75$$
$$\cos^2 2x-\sin^2 2x+5\cdot \frac{1+\cos 2x}{2}=\frac34$$
$$\cos^2 2x-(1-\cos^2 2x)+\frac52+\frac52\cos 2x=\frac34$$
$$2\cos^2 2x+\frac52\cos 2x-1+\frac52-\frac34=0$$
$$8\cos^2 2x+10\cos 2x+3=0$$
Пусть $$y=\cos 2x$$. Тогда
$$8y^2+10y+3=0$$
$$D=10^2-4\cdot 8\cdot 3=100-96=4$$
$$y_1=\frac{-10-2}{16}=-\frac34,\qquad y_2=\frac{-10+2}{16}=-\frac12$$
1) Если $$\cos 2x=-\frac34$$, то
$$2x=\pm \arccos\left(-\frac34\right)+2\pi n$$
$$x=\pm \frac12\arccos\left(-\frac34\right)+\pi n$$
2) Если $$\cos 2x=-\frac12$$, то
$$2x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n$$
$$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n$$
б) Аналогично:
$$\cos 4x+3\sin^2 x=0{,}25$$
$$\cos^2 2x-\sin^2 2x+3\cdot \frac{1-\cos 2x}{2}=\frac14$$
$$\cos^2 2x-(1-\cos^2 2x)+\frac32-\frac32\cos 2x=\frac14$$
$$2\cos^2 2x-\frac32\cos 2x+\frac14=0$$
$$8\cos^2 2x-6\cos 2x+1=0$$
Пусть $$y=\cos 2x$$. Тогда
$$8y^2-6y+1=0$$
$$D=6^2-4\cdot 8\cdot 1=36-32=4$$
$$y_1=\frac{6-2}{16}=\frac14,\qquad y_2=\frac{6+2}{16}=\frac12$$
1) Если $$\cos 2x=\frac14$$, то
$$2x=\pm \arccos\frac14+2\pi n$$
$$x=\pm \frac12\arccos\frac14+\pi n$$
2) Если $$\cos 2x=\frac12$$, то
$$2x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n$$
$$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n$$
Ответ: а) $$x=\pm \frac12\arccos\left(-\frac34\right)+\pi n,\; x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in \mathbb Z$$; б) $$x=\pm \frac12\arccos\frac14+\pi n,\; x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in \mathbb Z$$.
