Упр.31.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$4\cos^3\frac{x}{2}+3\sqrt{2}\sin x=8\cos\frac{x}{2}$$;
2. б) $$\frac{7}{4}\cos\frac{x}{4}=\cos^3\frac{x}{4}+\sin\frac{x}{2}$$.

а) Преобразуем уравнение:

$$4\cos^3\frac{x}{2}+3\sqrt2\sin x=8\cos\frac{x}{2}$$

$$4\cos^3\frac{x}{2}+6\sqrt2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-8\cos\frac{x}{2}=0$$

$$2\cos\frac{x}{2}\left(2\cos^2\frac{x}{2}+3\sqrt2\sin\frac{x}{2}-4\right)=0$$

Отсюда:

$$2\cos\frac{x}{2}=0 \quad \text{или} \quad 2\cos^2\frac{x}{2}+3\sqrt2\sin\frac{x}{2}-4=0.$$

1) $$\cos\frac{x}{2}=0,$$ тогда

$$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\pi+2\pi n.$$

2) Пусть $$y=\sin\frac{x}{2}.$$ Тогда

$$2(1-y^2)+3\sqrt2\,y-4=0$$

$$2y^2-3\sqrt2\,y+2=0.$$

Дискриминант:

$$D=(3\sqrt2)^2-4\cdot2\cdot2=18-16=2.$$

Тогда

$$y_{1,2}=\frac{3\sqrt2\pm\sqrt2}{4}.$$

Получаем:

$$y_1=\frac{\sqrt2}{2},\qquad y_2=\sqrt2.$$

Значение $$y_2=\sqrt2$$ не подходит, так как $$\sin\frac{x}{2}\le 1.$$

Остаётся

$$\sin\frac{x}{2}=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Тогда

$$\frac{x}{2}=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

б) Преобразуем уравнение:

$$\frac74\cos\frac{x}{4}=\cos^3\frac{x}{4}+\sin\frac{x}{2}$$

$$\cos^3\frac{x}{4}+2\sin\frac{x}{4}\cos\frac{x}{4}-\frac74\cos\frac{x}{4}=0$$

$$\frac14\cos\frac{x}{4}\left(4\cos^2\frac{x}{4}+8\sin\frac{x}{4}-7\right)=0.$$

Отсюда:

$$\cos\frac{x}{4}=0 \quad \text{или} \quad 4\cos^2\frac{x}{4}+8\sin\frac{x}{4}-7=0.$$

1) $$\cos\frac{x}{4}=0,$$ тогда

$$\frac{x}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=2\pi+4\pi n.$$

2) Пусть $$y=\sin\frac{x}{4}.$$ Тогда

$$4(1-y^2)+8y-7=0$$

$$4y^2-8y+3=0.$$

Дискриминант:

$$D=64-48=16.$$

Тогда

$$y_{1,2}=\frac{8\pm4}{8}.$$

Получаем:

$$y_1=\frac12,\qquad y_2=\frac32.$$

Значение $$y_2=\frac32$$ не подходит, так как $$\sin\frac{x}{4}\le 1.$$

Остаётся

$$\sin\frac{x}{4}=\frac12.$$

Тогда

$$\frac{x}{4}=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=(-1)^n\frac{2\pi}{3}+4\pi n.$$

Ответ: а) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; x=\pi+2\pi n;\quad$$ б) $$x=(-1)^n\frac{2\pi}{3}+4\pi n,\; x=2\pi+4\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$