Упр.31.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$3|\cos x|+2\cos x=5|\sin x|-3\sin x$$;
б) $$7|\cos x|-4\cos x=3|\sin x|+2\sin x$$.
Рассмотрим оба уравнения по четвертям, учитывая знаки $$\sin x$$ и $$\cos x$$.
а)
$$3|\cos x|+2\cos x=5|\sin x|-3\sin x$$
1) I четверть: $$\cos x>0,\ \sin x>0$$
$$3\cos x+2\cos x=5\sin x-3\sin x$$
$$5\cos x=2\sin x$$
$$\tg x=\frac{5}{2}$$
$$x=\arctg\frac{5}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
2) II четверть: $$\cos x<0,\ \sin x>0$$
$$-3\cos x+2\cos x=5\sin x-3\sin x$$
$$-\cos x=2\sin x$$
$$\tg x=-\frac12$$
$$x=\pi-\arctg\frac12+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
3) III четверть: $$\cos x<0,\ \sin x<0$$
$$-3\cos x+2\cos x=-5\sin x+3\sin x$$
$$-\cos x=-2\sin x$$
$$\tg x=\frac18$$
$$x=\pi+\arctg\frac18+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
4) IV четверть: $$\cos x>0,\ \sin x<0$$
$$3\cos x+2\cos x=-5\sin x+3\sin x$$
$$5\cos x=-2\sin x$$
$$\tg x=-\frac52$$
$$x=-\arctg\frac52+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
б)
$$7|\cos x|-4\cos x=3|\sin x|+2\sin x$$
1) I четверть: $$\cos x>0,\ \sin x>0$$
$$7\cos x-4\cos x=3\sin x+2\sin x$$
$$3\cos x=5\sin x$$
$$\tg x=\frac35$$
$$x=\arctg\frac35+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
2) II четверть: $$\cos x<0,\ \sin x>0$$
$$-7\cos x-4\cos x=3\sin x+2\sin x$$
$$-11\cos x=5\sin x$$
$$\tg x=-\frac{11}{5}$$
$$x=\pi-\arctg\frac{11}{5}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
3) III четверть: $$\cos x<0,\ \sin x<0$$
$$-7\cos x-4\cos x=-3\sin x-2\sin x$$
$$-11\cos x=-5\sin x$$
$$\tg x=\frac{11}{5}$$
$$x=\pi+\arctg\frac{11}{5}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
4) IV четверть: $$\cos x>0,\ \sin x<0$$
$$7\cos x-4\cos x=-3\sin x-2\sin x$$
$$3\cos x=-5\sin x$$
$$\tg x=-\frac35$$
$$x=-\arctg\frac35+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
Ответ
$$\begin{aligned} &\text{а) } x=\arctg\frac52+2\pi n;\ \pi-\arctg\frac12+2\pi n;\\ &\qquad \pi+\arctg\frac18+2\pi n;\ -\arctg\frac52+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z;\\[4pt] &\text{б) } x=\arctg\frac35+2\pi n;\ \pi-\arctg\frac{11}{5}+2\pi n;\\ &\qquad \pi+\arctg\frac{11}{5}+2\pi n;\ -\arctg\frac35+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. \end{aligned}$$
