Упр.31.1 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение: а) $$\sin(x-1)=\cos(x+2)$$; б) $$\sin(3x+3)=\cos(x-1)$$.

а) $$\sin(x-1)=\cos(x+2)$$

Преобразуем косинус в синус:

$$\cos(x+2)=\sin\left(\frac{\pi}{2}+x+2\right).$$

Тогда

$$\sin(x-1)-\sin\left(\frac{\pi}{2}+x+2\right)=0.$$

По формуле разности синусов:

$$2\sin\frac{(x-1)-\left(\frac{\pi}{2}+x+2\right)}{2}\cdot \cos\frac{(x-1)+\left(\frac{\pi}{2}+x+2\right)}{2}=0.$$

Получаем

$$2\sin\left(-\frac{\pi}{4}-\frac{3}{2}\right)\cdot \cos\left(x+\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\right)=0.$$

Так как $$\sin\left(-\frac{\pi}{4}-\frac{3}{2}\right)\neq 0,$$ то

$$\cos\left(x+\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\right)=0.$$

Следовательно,

$$x+\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\sin(3x+3)=\cos(x-1)$$

Преобразуем косинус в синус:

$$\cos(x-1)=\sin\left(\frac{\pi}{2}+x-1\right).$$

Тогда

$$\sin(3x+3)-\sin\left(\frac{\pi}{2}+x-1\right)=0.$$

По формуле разности синусов:

$$2\sin\frac{(3x+3)-\left(\frac{\pi}{2}+x-1\right)}{2}\cdot \cos\frac{(3x+3)+\left(\frac{\pi}{2}+x-1\right)}{2}=0.$$

Получаем

$$2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}+2\right)\cdot \cos\left(2x+\frac{\pi}{4}+1\right)=0.$$

Отсюда:

1. $$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}+2\right)=0,$$

   $$x-\frac{\pi}{4}+2=\pi n,$$

   $$x=\frac{\pi}{4}-2+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}+1\right)=0,$$

   $$2x+\frac{\pi}{4}+1=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

   $$2x=\frac{\pi}{4}-1+\pi n,$$

   $$x=\frac{\pi}{8}-\frac{1}{2}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: а) $$x=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$ б) $$x=\frac{\pi}{4}-2+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\ \ x=\frac{\pi}{8}-\frac{1}{2}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$