Упр.30.7 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдите область значений функции:

а) $$y=3\sin 2x-4\cos 2x$$;

б) $$y=5\cos 3x+12\sin 3x$$;

в) $$y=7\sin\frac{x}{2}+24\cos\frac{x}{2}$$;

г) $$y=8\cos\frac{x}{3}-15\sin\frac{x}{3}$$.

Для выражения вида $$a\sin t+b\cos t$$ или $$a\cos t+b\sin t$$ можно записать его в виде $$R\sin(t+\varphi)$$ или $$R\cos(t+\varphi),$$ где $$R=\sqrt{a^2+b^2}.$$ Тогда область значений равна $$[-R;R].$$

1. $$y=3\sin 2x-4\cos 2x.$$

   Найдём амплитуду:

   $$R=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=5.$$

   Значит, $$y\in[-5;5].$$

2. $$y=5\cos 3x+12\sin 3x.$$

   Амплитуда равна:

   $$R=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=13.$$

   Следовательно, $$y\in[-13;13].$$

3. $$y=7\sin \frac{x}{2}+24\cos \frac{x}{2}.$$

   Амплитуда:

   $$R=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{49+576}=25.$$

   Значит, $$y\in[-25;25].$$

4. $$y=8\cos \frac{x}{3}-15\sin \frac{x}{3}.$$

   Амплитуда:

   $$R=\sqrt{8^2+(-15)^2}=\sqrt{64+225}=17.$$

   Следовательно, $$y\in[-17;17].$$

Ответ

а) $$[-5;5]$$; б) $$[-13;13]$$; в) $$[-25;25]$$; г) $$[-17;17]$$.