Упр.30.6 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:
   а) $$y=\sqrt{3}\sin x+\cos x$$;
   б) $$y=\sin x-\sqrt{3}\cos x$$;
   в) $$y=\sin x-\cos x$$;
   г) $$y=\sqrt{6}\sin x-\sqrt{2}\cos x$$.

Представим каждую функцию в виде $$y=A\sin(x+\varphi)$$ или $$y=A\cos(x+\varphi)$$. Тогда наибольшее значение равно $$A$$, а наименьшее — $$-A$$.

1. $$y=\sqrt{3}\sin x+\cos x$$

   $$A=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{4}=2$$

   Значит, $$y=2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$$, поэтому

   $$-2\le y\le 2$$

   Ответ: $$-2;\ 2$$

2. $$y=\sin x-\sqrt{3}\cos x$$

   $$A=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{4}=2$$

   Значит, $$y=2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$$, поэтому

   $$-2\le y\le 2$$

   Ответ: $$-2;\ 2$$

3. $$y=\sin x-\cos x$$

   $$A=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$$

   Значит, $$y=\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$, поэтому

   $$-\sqrt{2}\le y\le \sqrt{2}$$

   Ответ: $$-\sqrt{2};\ \sqrt{2}$$

4. $$y=\sqrt{6}\sin x-\sqrt{2}\cos x$$

   $$A=\sqrt{(\sqrt{6})^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$

   Значит, $$y=2\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$$, поэтому

   $$-2\sqrt{2}\le y\le 2\sqrt{2}$$

   Ответ: $$-2\sqrt{2};\ 2\sqrt{2}$$