Упр.30.5 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Вычислите: а) $$\frac{\sin 38^\circ-\cos 38^\circ}{\sqrt{2}\sin 7^\circ}$$; б) $$\frac{\sin 377^\circ-\sqrt{3}\cos 17^\circ}{\cos 407^\circ}$$; в) $$\frac{\sin 17^\circ+\sqrt{3}\cos 17^\circ}{2\cos 347^\circ}$$; г) $$\frac{\sin 752^\circ+\cos 328^\circ}{\sqrt{2}\sin 437^\circ}$$.

а) $$\frac{\sin 38^\circ-\cos 38^\circ}{\sqrt2\sin 7^\circ}=\frac{\sqrt2\sin\left(38^\circ-45^\circ\right)}{\sqrt2\sin 7^\circ}=\frac{\sin(-7^\circ)}{\sin 7^\circ}=-1.$$

б) $$\frac{\sin 377^\circ-\sqrt3\cos 17^\circ}{\cos 407^\circ}=\frac{\sin 17^\circ-\sqrt3\cos 17^\circ}{\cos 47^\circ}=\frac{2\sin 17^\circ-2\cos 17^\circ\cdot \frac{\sqrt3}{2}}{2\cos 47^\circ}$$

Удобнее представить числитель в виде одной тригонометрической функции:

$$\sin 17^\circ-\sqrt3\cos 17^\circ=-2\cos(17^\circ+30^\circ)=-2\cos 47^\circ.$$

Тогда

$$\frac{\sin 377^\circ-\sqrt3\cos 17^\circ}{\cos 407^\circ}=\frac{-2\cos 47^\circ}{\cos 47^\circ}=-2.$$

в) $$\frac{\sin 17^\circ+\sqrt3\cos 17^\circ}{2\cos 347^\circ}=\frac{2\cos(17^\circ-30^\circ)}{2\cos(-13^\circ)}=\frac{\cos(-13^\circ)}{\cos(-13^\circ)}=1.$$

г) $$\frac{\sin 752^\circ+\cos 328^\circ}{\sqrt2\sin 437^\circ}=\frac{\sin 32^\circ+\cos 32^\circ}{\sqrt2\sin 77^\circ}.$$

Так как $$\sin 32^\circ+\cos 32^\circ=\sqrt2\sin(32^\circ+45^\circ)=\sqrt2\sin 77^\circ,$$ то

$$\frac{\sin 752^\circ+\cos 328^\circ}{\sqrt2\sin 437^\circ}=\frac{\sqrt2\sin 77^\circ}{\sqrt2\sin 77^\circ}=1.$$

Ответ: а) $$-1$$; б) $$-2$$; в) $$1$$; г) $$1$$.