Упр.30.4 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Преобразуйте сумму в произведение: а) $$\sin t+\cos t+5\cos\left(t+\frac{\pi}{4}\right)$$; б) $$\sin t-\cos t+\text{корень34}\cos\left(\frac{\pi}{4}-t\right)$$.
Используем формулу приведения суммы к одной тригонометрической функции:
$$A\sin x+B\cos x=\sqrt{A^2+B^2}\,\sin(x+\varphi),$$
где $$\cos\varphi=\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}},\qquad \sin\varphi=\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}.$$
а)
$$\sin t+\cos t+5\cos\left(t+\frac{\pi}{4}\right)$$
Так как
$$\sin t+\cos t=\sqrt2\,\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right),$$
то
$$\sin t+\cos t+5\cos\left(t+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2\,\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right)+5\cos\left(t+\frac{\pi}{4}\right).$$
Представим сумму в виде одной синусоиды:
$$\sqrt2\,\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right)+5\cos\left(t+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{27}\,\sin\left(t+\frac{\pi}{4}+\varphi\right),$$
где
$$\cos\varphi=\frac{\sqrt2}{\sqrt{27}}=\frac{\sqrt2}{3\sqrt3},\qquad \sin\varphi=\frac{5}{\sqrt{27}}=\frac{5}{3\sqrt3}.$$
Следовательно,
$$\sin t+\cos t+5\cos\left(t+\frac{\pi}{4}\right)=3\sqrt3\,\sin\left(t+\frac{\pi}{4}+\arcsin\frac{5\sqrt3}{9}\right).$$
б)
$$\sin t-\cos t+\sqrt{34}\cos\left(\frac{\pi}{4}-t\right)$$
Преобразуем первые два слагаемых:
$$\sin t-\cos t=\sqrt2\,\sin\left(t-\frac{\pi}{4}\right).$$
Кроме того,
$$\cos\left(\frac{\pi}{4}-t\right)=\cos\left(t-\frac{\pi}{4}\right).$$
Тогда
$$\sin t-\cos t+\sqrt{34}\cos\left(\frac{\pi}{4}-t\right)=\sqrt2\,\sin\left(t-\frac{\pi}{4}\right)+\sqrt{34}\cos\left(t-\frac{\pi}{4}\right).$$
Представим сумму в виде одной синусоиды:
$$\sqrt2\,\sin\left(t-\frac{\pi}{4}\right)+\sqrt{34}\cos\left(t-\frac{\pi}{4}\right)=6\sin\left(t-\frac{\pi}{4}+\varphi\right),$$
где
$$\cos\varphi=\frac{\sqrt2}{6},\qquad \sin\varphi=\frac{\sqrt{34}}{6}.$$
Значит,
$$\sin t-\cos t+\sqrt{34}\cos\left(\frac{\pi}{4}-t\right)=6\sin\left(t-\frac{\pi}{4}+\arcsin\frac{\sqrt{34}}{6}\right).$$
Ответ
а) $$3\sqrt3\,\sin\left(t+\frac{\pi}{4}+\arcsin\frac{5\sqrt3}{9}\right);$$
б) $$6\sin\left(t-\frac{\pi}{4}+\arcsin\frac{\sqrt{34}}{6}\right).$$
