Упр.30.3 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Докажите тождество:
   а) $$\sin x+\cos x+\sqrt{2}=2\sqrt{2}\cos^2\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{8}\right);$$
   б) $$\cos 2x-\sin 2x-\sqrt{2}=-2\sqrt{2}\sin^2\left(x+\frac{\pi}{8}\right).$$

а) Преобразуем левую часть, используя формулу $$\cos^2 \alpha=\frac{1+\cos 2\alpha}{2}.$$ Тогда

$$2\sqrt{2}\cos^2\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{8}\right) =2\sqrt{2}\cdot \frac{1+\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}{2} =\sqrt{2}\left(1+\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right).$$

По формуле $$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\cos x+\sin x}{\sqrt{2}}$$ получаем

$$\sqrt{2}\left(1+\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right) =\sqrt{2}+\cos x+\sin x.$$

Значит,

$$\sin x+\cos x+\sqrt{2}=2\sqrt{2}\cos^2\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{8}\right).$$

б) Аналогично, используем формулу $$\sin^2 \alpha=\frac{1-\cos 2\alpha}{2}.$$ Тогда

$$-2\sqrt{2}\sin^2\left(x+\frac{\pi}{8}\right) =-2\sqrt{2}\cdot \frac{1-\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)}{2} =-\sqrt{2}\left(1-\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)\right).$$

Так как

$$\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\cos 2x-\sin 2x}{\sqrt{2}},$$

то

$$-\sqrt{2}\left(1-\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)\right) =-\sqrt{2}+\cos 2x-\sin 2x.$$

Следовательно,

$$\cos 2x-\sin 2x-\sqrt{2}=-2\sqrt{2}\sin^2\left(x+\frac{\pi}{8}\right).$$

Ответ: тождества верны.