Упр.30.27 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Сколько целых чисел содержится в области значений функции $$y=(\sin x+y/Scosx)+\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+3$$?

Преобразуем выражение:

$$y=(\sin x+\sqrt{3}\cos x)^2+\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+3.$$

Так как

$$\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right),$$

то

$$y=4\sin^2\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+3.$$

Положим

$$t=\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right), \qquad t\in[-1;1].$$

Тогда

$$y=4t^2+t+3.$$

Это парабола, ветви направлены вверх. Найдём её минимум на отрезке $$[-1;1]$$.

Абсцисса вершины:

$$t_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2\cdot 4}=-\frac18.$$

Так как $$-\frac18\in[-1;1]$$, минимум достигается в вершине:

$$y_{\min}=4\left(-\frac18\right)^2-\frac18+3=\frac{1}{16}-\frac{2}{16}+3=\frac{47}{16}.$$

Максимум на отрезке достигается на концах:

$$y(-1)=4\cdot(-1)^2-1+3=6,$$

$$y(1)=4\cdot1^2+1+3=8.$$

Значит, область значений функции:

$$\frac{47}{16}\le y\le 8.$$

Целые числа в этом промежутке: $$3,4,5,6,7,8.$$ Их $$6$$.

Ответ: 6.