Упр.30.26 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. При каких значениях параметра $$a$$ решением неравенства является любое действительное число $$x$$:
   а) $$12\sin 2x-35\cos 2x<148a^2$$;
   б) $$35\sin 3x+12\cos 3x>18{,}5(a^3-10)$$?

Используем оценку тригонометрической функции: для любого $$x$$ выполняется $$-1 \le \sin t \le 1.$$

а)

$$12\sin 2x-35\cos 2x<148a^2.$$

Представим левую часть в виде одной синусоиды:

$$12\sin 2x-35\cos 2x=37\sin(2x-\varphi),$$

так как

$$37=\sqrt{12^2+35^2}.$$

Тогда неравенство равносильно

$$37\sin(2x-\varphi)<148a^2,$$

или

$$\sin(2x-\varphi)<4a^2.$$

Чтобы это неравенство было верно при любом $$x$$, правая часть должна быть не меньше наибольшего значения синуса, то есть

$$4a^2>1.$$

Отсюда

$$a^2>\frac14,$$

$$a<-\frac12 \quad \text{или} \quad a>\frac12.$$

б)

$$35\sin 3x+12\cos 3x>18{,}5(a^3-10).$$

Аналогично,

$$35\sin 3x+12\cos 3x=37\sin(3x+\psi),$$

так как

$$37=\sqrt{35^2+12^2}.$$

Получаем

$$37\sin(3x+\psi)>18{,}5(a^3-10),$$

или

$$\sin(3x+\psi)>\frac12(a^3-10).$$

Чтобы неравенство выполнялось при любом $$x$$, правая часть должна быть не больше наименьшего значения синуса:

$$\frac12(a^3-10)\le -1.$$

Тогда

$$a^3-10\le -2,$$

$$a^3\le 8,$$

$$a\le 2.$$

Ответ

а) $$a\in(-\infty;-\tfrac12)\cup(\tfrac12;+\infty);$$ б) $$a\in(-\infty;2].$$