Упр.30.25 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$3\sin x+5\cos x<\sqrt[3]{210}$$;

б) $$\sqrt{3}\sin x-7\cos x>\sqrt[3]{390}$$.

а) Представим левую часть в виде одной синусоиды:

$$3\sin x+5\cos x=\sqrt{34}\sin(x+t),$$

где $$\cos t=\frac{3}{\sqrt{34}},\qquad \sin t=\frac{5}{\sqrt{34}}.$$

Тогда

$$\sqrt{34}\sin(x+t)\le \sqrt{34}.$$

Чтобы неравенство $$\sqrt{34}\sin(x+t)<\sqrt[3]{210}$$ выполнялось при любых $$x$$, достаточно, чтобы

$$\sqrt{34}\le \sqrt[3]{210}.$$

Проверим:

$$34^{3}\le 210^{2},$$

$$34\cdot 34\cdot 34\le 210\cdot 210,$$

$$34\cdot 34\cdot 34=39304,\qquad 210\cdot 210=44100,$$

значит, $$\sqrt{34}\le \sqrt[3]{210}.$$ Следовательно, неравенство верно при любом $$x$$.

б) Аналогично преобразуем левую часть:

$$\sqrt{3}\sin x-7\cos x=\sqrt{52}\sin(x-t),$$

где $$\cos t=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{52}},\qquad \sin t=\frac{7}{\sqrt{52}}.$$

Тогда

$$\sqrt{52}\sin(x-t)\ge -\sqrt{52}.$$

Чтобы выполнялось неравенство $$\sqrt{3}\sin x-7\cos x>-\sqrt[3]{390}$$ при любых $$x$$, достаточно, чтобы

$$-\sqrt{52}\ge -\sqrt[3]{390},$$

то есть

$$\sqrt{52}\le \sqrt[3]{390}.$$

Проверим:

$$52^{3}\le 390^{2},$$

$$52\cdot 52\cdot 52\le 390\cdot 390,$$

$$140608\le 152100.$$

Следовательно, $$\sqrt{52}\le \sqrt[3]{390}$$, и неравенство верно при любом $$x$$.

Ответ: оба неравенства выполняются при любых значениях $$x$$.