Упр.30.24 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Докажите, что при любых значениях $$x$$ выполняется неравенство:
   а) $$2\sin^2 x+\sin 2x<2{,}5$$;
   б) $$16\sin^2 3x+15\sin 6x\leq 25$$.

а) $$2\sin^2 x+\sin 2x<2{,}5.$$

Используем формулу $$2\sin^2 x=1-\cos 2x.$$ Тогда

$$1-\cos 2x+\sin 2x<2{,}5,$$

то есть

$$\sin 2x-\cos 2x<1{,}5.$$

Преобразуем левую часть:

$$\sin 2x-\cos 2x=\sqrt2\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right).$$

Так как $$\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)\le 1,$$ то

$$\sqrt2\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)\le \sqrt2<1{,}5.$$

Следовательно, неравенство верно при любых $$x$$.

б) $$16\sin^2 3x+15\sin 6x\le 25.$$

Преобразуем $$16\sin^2 3x$$:

$$16\sin^2 3x=16\cdot \frac{1-\cos 6x}{2}=8-8\cos 6x.$$

Тогда

$$8-8\cos 6x+15\sin 6x\le 25,$$

или

$$15\sin 6x-8\cos 6x\le 17.$$

Представим левую часть в виде одной синусоиды:

$$15\sin 6x-8\cos 6x=17\sin(6x-t),$$

где $$\cos t=\frac{15}{17},\ \sin t=\frac{8}{17}.$$

Тогда

$$17\sin(6x-t)\le 17,$$

а значит,

$$\sin(6x-t)\le 1.$$

Это верно при любых $$x$$.

Ответ

а) верно при любых $$x$$; б) верно при любых $$x$$.