Упр.30.23 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

При каких значениях параметра $$a$$ уравнение не имеет решений:

1. $$5\sin 2x+12\cos 2x=2a-1$$;
2. $$3\cos\frac{x}{2}-4\sin\frac{x}{2}+1=a^2$$?

а) Преобразуем левую часть к виду одной тригонометрической функции:

$$5\sin 2x+12\cos 2x=13\sin(2x+t),$$

где $$\sin t=\frac{12}{13}, \quad \cos t=\frac{5}{13}.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$13\sin(2x+t)=2a-1,$$

или

$$\sin(2x+t)=\frac{2a-1}{13}.$$

Чтобы уравнение имело решения, нужно

$$-1\le \frac{2a-1}{13}\le 1.$$

Отсюда

$$-13\le 2a-1\le 13,$$

$$-12\le 2a\le 14,$$

$$-6\le a\le 7.$$

Значит, решений нет при

$$a<-6 \quad \text{или} \quad a>7.$$

б) Аналогично преобразуем левую часть:

$$3\cos \frac{x}{2}-4\sin \frac{x}{2}=5\sin\left(\frac{x}{2}-t\right),$$

где $$\sin t=\frac{3}{5}, \quad \cos t=\frac{4}{5}.$$

Тогда

$$5\sin\left(\frac{x}{2}-t\right)+1=a^2,$$

или

$$\sin\left(\frac{x}{2}-t\right)=\frac{a^2-1}{5}.$$

Для существования решений должно выполняться

$$-1\le \frac{a^2-1}{5}\le 1.$$

Отсюда

$$-5\le a^2-1\le 5,$$

$$-4\le a^2\le 6.$$

Так как $$a^2\ge 0,$$ получаем

$$0\le a^2\le 6,$$

то есть

$$-\sqrt6\le a\le \sqrt6.$$

Следовательно, решений нет при

$$a<-\sqrt6 \quad \text{или} \quad a>\sqrt6.$$

Ответ: а) $$a<-6$$ или $$a>7$$; б) $$a<-\sqrt6$$ или $$a>\sqrt6$$.