Упр.30.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите неравенство:

а) $$\sqrt{3}\sin x+\cos x>1$$;
б) $$3\sin x-4\cos x<2{,}5$$.

а) $$\sqrt{3}\sin x+\cos x>1$$

Представим левую часть в виде одной тригонометрической функции:

$$\sqrt{3}\sin x+\cos x=2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right).$$

Тогда

$$2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)>1,$$

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)>\frac12.$$

Для синуса это неравенство выполняется при

$$\frac{\pi}{6}+2\pi n<x+\frac{\pi}{6}<\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Вычитая $$\frac{\pi}{6}$$, получаем

$$2\pi n<x<\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$3\sin x-4\cos x<2{,}5$$

Представим левую часть в виде одной функции:

$$3\sin x-4\cos x=5\sin\left(x-\arcsin\frac45\right).$$

Тогда

$$5\sin\left(x-\arcsin\frac45\right)<2{,}5,$$

$$\sin\left(x-\arcsin\frac45\right)<\frac12.$$

Пусть $$t=x-\arcsin\frac45$$. Тогда

$$\sin t<\frac12,$$

а это выполняется при

$$-\frac{7\pi}{6}+2\pi n<t<\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем

$$\arcsin\frac45-\frac{7\pi}{6}+2\pi n<x<\arcsin\frac45+\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ:

а) $$x\in\left(2\pi n,\frac{2\pi}{3}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x\in\left(\arcsin\frac45-\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\ \arcsin\frac45+\frac{\pi}{6}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$