Упр.30.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$\sqrt{3}\sin x+\cos x+2=\frac{12x}{5\pi}$$; б) $$\sqrt{2}(\cos x-\sin x)=2x-\frac{\pi}{2}$$

а) $$\sqrt3\sin x+\cos x+2=\frac{12}{5\pi}x$$

Представим левую часть в виде одной синусоиды:

$$\sqrt3\sin x+\cos x=2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right).$$

Тогда

$$2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)+2=\frac{12}{5\pi}x,$$

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{6}{5\pi}x-1.$$

Построим графики функций $$y=\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$$ и $$y=\frac{6}{5\pi}x-1.$$

Они пересекаются в единственной точке, поэтому уравнение имеет единственное решение:

$$x=\frac{5\pi}{6}.$$

б) $$\sqrt2(\cos x-\sin x)=2x-\frac{\pi}{2}$$

Преобразуем левую часть:

$$\sqrt2(\cos x-\sin x)=2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда

$$2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=2x-\frac{\pi}{2},$$

$$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=x-\frac{\pi}{4}.$$

Построим графики функций $$y=\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$ и $$y=x-\frac{\pi}{4}.$$

Они пересекаются в единственной точке, значит

$$x=\frac{\pi}{4}.$$

Ответ: а) $$\frac{5\pi}{6}$$; б) $$\frac{\pi}{4}$$.