Упр.30.2 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$3\sin x+4\cos x$$; б) $$5\cos x-12\sin$$; в) $$7\sin x-24\cos x$$; г) $$8\cos x+15\sin x$$.

Преобразуем выражения к виду $$C\sin(x+t)$$ или $$C\cos(x+t)$$, используя формулы:

$$A\sin x+B\cos x=C\sin(x+t), \quad C=\sqrt{A^2+B^2}, \quad \cos t=\frac{A}{C}, \quad \sin t=\frac{B}{C}.$$

Аналогично можно записать и через косинус.

1. $$3\sin x+4\cos x$$

   $$C=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5,$$

   $$\cos t=\frac{3}{5}, \quad \sin t=\frac{4}{5}, \quad t=\arcsin\frac{4}{5}.$$

   Тогда

   $$3\sin x+4\cos x=5\sin\left(x+\arcsin\frac{4}{5}\right).$$

2. $$5\cos x-12\sin x=-12\sin x+5\cos x$$

   $$C=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13,$$

   $$\cos t=\frac{5}{13}, \quad \sin t=-\frac{12}{13}, \quad t=-\arcsin\frac{12}{13}.$$

   Следовательно,

   $$5\cos x-12\sin x=13\cos\left(x+\arcsin\frac{12}{13}\right).$$

3. $$7\sin x-24\cos x$$

   $$C=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{625}=25,$$

   $$\cos t=\frac{7}{25}, \quad \sin t=-\frac{24}{25}, \quad t=-\arcsin\frac{24}{25}.$$

   Тогда

   $$7\sin x-24\cos x=25\sin\left(x-\arccos\frac{7}{25}\right).$$

4. $$8\cos x+15\sin x=15\sin x+8\cos x$$

   $$C=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{289}=17,$$

   $$\cos t=\frac{15}{17}, \quad \sin t=\frac{8}{17}, \quad t=\arcsin\frac{8}{17}.$$

   Следовательно,

   $$8\cos x+15\sin x=17\sin\left(x+\arcsin\frac{8}{17}\right).$$

Ответ:

$$3\sin x+4\cos x=5\sin\left(x+\arcsin\frac{4}{5}\right);$$

$$5\cos x-12\sin x=13\cos\left(x+\arcsin\frac{12}{13}\right);$$

$$7\sin x-24\cos x=25\sin\left(x-\arccos\frac{7}{25}\right);$$

$$8\cos x+15\sin x=17\sin\left(x+\arcsin\frac{8}{17}\right).$$