Упр.30.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$2\sin 17x+\sqrt{3}\cos 5x+\sin 5x=0$$;
   б) $$5\sin x-12\cos x+13\sin 3x=0$$.

а) Преобразуем сумму тригонометрических функций к произведению:

$$2\sin 17x+\sqrt{3}\cos 5x+\sin 5x=0$$

$$2\sin 17x+2\sin\left(5x+\frac{\pi}{3}\right)=0$$

$$2\sin 17x+2\sin\left(5x+\frac{\pi}{3}\right)=2\cdot 2\sin\frac{17x+5x+\frac{\pi}{3}}{2}\cdot \cos\frac{17x-5x-\frac{\pi}{3}}{2}=0$$

$$\sin\left(11x+\frac{\pi}{6}\right)\cdot \cos\left(6x-\frac{\pi}{6}\right)=0$$

Отсюда:

$$\sin\left(11x+\frac{\pi}{6}\right)=0 \quad \text{или} \quad \cos\left(6x-\frac{\pi}{6}\right)=0.$$

1) $$11x+\frac{\pi}{6}=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=-\frac{\pi}{66}+\frac{\pi n}{11}.$$

2) $$6x-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{6}.$$

б) Представим выражение в виде суммы синусов:

$$5\sin x-12\cos x+13\sin 3x=0$$

$$13\sin\left(x-\arccos\frac{5}{13}\right)+13\sin 3x=0$$

$$\sin\left(x-\arccos\frac{5}{13}\right)+\sin 3x=0$$

Применим формулу суммы синусов:

$$2\sin\left(2x-\frac12\arccos\frac{5}{13}\right)\cos\left(x+\frac12\arccos\frac{5}{13}\right)=0$$

Следовательно,

$$\sin\left(2x-\frac12\arccos\frac{5}{13}\right)=0 \quad \text{или} \quad \cos\left(x+\frac12\arccos\frac{5}{13}\right)=0.$$

1) $$2x-\frac12\arccos\frac{5}{13}=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac14\arccos\frac{5}{13}+\frac{\pi n}{2}.$$

2) $$x+\frac12\arccos\frac{5}{13}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi}{2}-\frac12\arccos\frac{5}{13}+\pi n.$$

Ответ

а) $$x=-\frac{\pi}{66}+\frac{\pi n}{11},\ \ x=\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{6},\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac14\arccos\frac{5}{13}+\frac{\pi n}{2},\ \ x=\frac{\pi}{2}-\frac12\arccos\frac{5}{13}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$