Упр.30.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\sin 2x-\cos 2x=\sqrt{2}\sin 3x$$;

б) $$\sqrt{3}\sin x-\cos x=2\cos 3x$$;

в) $$\sin 5x+\cos 5x=\sqrt{2}\cos x$$;

г) $$\sin 2x+\sqrt{3}\cos 2x=2\sin 4x$$.

а) $$\sin 2x-\cos 2x=\sqrt2\sin 3x$$

Представим левую часть в виде одной синусоиды:

$$\sin 2x-\cos 2x=\sqrt2\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда

$$\sqrt2\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2\sin 3x,$$

$$\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=\sin 3x.$$

Используем формулу $$\sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$:

$$2\cos\left(\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{8}\right)\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{8}\right)=0.$$

Отсюда

$$\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{8}\right)=0 \quad \text{или} \quad \cos\left(\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{8}\right)=0.$$

1) $$\frac{x}{2}+\frac{\pi}{8}=\pi n,$$

$$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n.$$

2) $$\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{8}=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi n}{5}.$$

б) $$\sqrt3\sin x-\cos x=2\cos 3x$$

Левую часть преобразуем:

$$\sqrt3\sin x-\cos x=2\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right).$$

Тогда

$$2\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=2\cos 3x,$$

$$\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\cos 3x.$$

Используем формулу $$\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$:

$$-2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)\sin\left(\frac{\pi}{6}-x\right)=0.$$

Отсюда

$$\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=0 \quad \text{или} \quad \sin\left(\frac{\pi}{6}-x\right)=0.$$

1) $$2x+\frac{\pi}{6}=\pi n,$$

$$x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}.$$

2) $$\frac{\pi}{6}-x=\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{6}+\pi n.$$

в) $$\sin 5x+\cos 5x=\sqrt2\cos x$$

Преобразуем левую часть:

$$\sin 5x+\cos 5x=\sqrt2\cos\left(5x-\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда

$$\cos\left(5x-\frac{\pi}{4}\right)=\cos x.$$

Используем формулу $$\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$:

$$-2\sin\left(3x-\frac{\pi}{8}\right)\sin\left(2x-\frac{\pi}{8}\right)=0.$$

Отсюда

$$\sin\left(3x-\frac{\pi}{8}\right)=0 \quad \text{или} \quad \sin\left(2x-\frac{\pi}{8}\right)=0.$$

1) $$3x-\frac{\pi}{8}=\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{3}.$$

2) $$2x-\frac{\pi}{8}=\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{2}.$$

г) $$\sin 2x+\sqrt3\cos 2x=2\sin 4x$$

Левую часть представим в виде одной синусоиды:

$$\sin 2x+\sqrt3\cos 2x=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right).$$

Тогда

$$2\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=2\sin 4x,$$

$$\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=\sin 4x.$$

Используем формулу $$\sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$:

$$2\cos\left(3x+\frac{\pi}{6}\right)\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=0.$$

Отсюда

$$\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=0 \quad \text{или} \quad \cos\left(3x+\frac{\pi}{6}\right)=0.$$

1) $$x-\frac{\pi}{6}=\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{6}+\pi n.$$

2) $$3x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3}.$$

Ответ: а) $$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\frac{2\pi n}{5}$$; б) $$x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\ \frac{\pi}{6}+\pi n$$; в) $$x=\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{3},\ \frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{2}$$; г) $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\ \frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z.$$