Упр.30.17 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$4\sin x-3\cos x=5$$; б) $$3\sin 2x+4\cos 2x=2{,}5$$; в) $$12\sin x+5\cos x+13=0$$; г) $$5\cos\frac{x}{2}-12\sin\frac{x}{2}=6{,}5$$.

a) Преобразуем левую часть к виду одной тригонометрической функции:

$$4\sin x-3\cos x=5$$

$$\sqrt{4^2+3^2}\,\sin\left(x-\arccos\frac45\right)=5$$

$$5\sin\left(x-\arccos\frac45\right)=5$$

$$\sin\left(x-\arccos\frac45\right)=1$$

$$x-\arccos\frac45=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$

$$x=\frac{\pi}{2}+\arccos\frac45+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Аналогично:

$$3\sin 2x+4\cos 2x=2{,}5$$

$$\sqrt{3^2+4^2}\,\sin\left(2x+\arccos\frac35\right)=\frac52$$

$$5\sin\left(2x+\arccos\frac35\right)=\frac52$$

$$\sin\left(2x+\arccos\frac35\right)=\frac12$$

$$2x+\arcsin\frac12=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$

$$2x=(-1)^n\frac{\pi}{6}-\arccos\frac35+\pi n$$

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}-\frac12\arccos\frac35+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

в)

$$12\sin x+5\cos x+13=0$$

$$12\sin x+5\cos x=-13$$

$$\sqrt{12^2+5^2}\,\cos\left(x-\arccos\frac5{13}\right)=-13$$

$$13\cos\left(x-\arccos\frac5{13}\right)=-13$$

$$\cos\left(x-\arccos\frac5{13}\right)=-1$$

$$x-\arccos\frac5{13}=\pi+2\pi n$$

$$x=\pi+\arccos\frac5{13}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

г)

$$5\cos\frac x2-12\sin\frac x2=6{,}5$$

$$5\cos\frac x2-12\sin\frac x2=\frac{13}{2}$$

$$\sqrt{5^2+12^2}\,\cos\left(\frac x2+\arccos\frac5{13}\right)=\frac{13}{2}$$

$$13\cos\left(\frac x2+\arccos\frac5{13}\right)=\frac{13}{2}$$

$$\cos\left(\frac x2+\arccos\frac5{13}\right)=\frac12$$

$$\frac x2+\arccos\frac5{13}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n$$

$$x=\pm\frac{2\pi}{3}-2\arccos\frac5{13}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{2}+\arccos\frac45+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}-\frac12\arccos\frac35+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$

в) $$x=\pi+\arccos\frac5{13}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

г) $$x=\pm\frac{2\pi}{3}-2\arccos\frac5{13}+4\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$