Упр.30.16 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$\cos 2x+\sqrt{3}\sin 2x=\sqrt{2}$$;
   б) $$\sin 5x-\cos 5x=\frac{\sqrt{6}}{2}$$;
   в) $$\cos\frac{x}{2}-\sqrt{3}\sin\frac{x}{2}+1=0$$;
   г) $$\sin\frac{x}{3}+\cos\frac{x}{3}=1$$.

a) $$\cos 2x+\sqrt3\sin 2x=\sqrt2.$$

Представим левую часть в виде одной тригонометрической функции:

$$\sqrt{1+3}\,\sin\left(2x+\arcsin\frac{1}{\sqrt{1+3}}\right)=\sqrt2,$$

то есть

$$2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt2,$$

$$\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Тогда

$$2x+\frac{\pi}{6}=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Отсюда

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{8}-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\sin 5x-\cos 5x=\frac{\sqrt6}{2}.$$

Запишем левую часть как одну синусоиду:

$$\sqrt{1+1}\,\sin\left(5x-\arcsin\frac{1}{\sqrt{1+1}}\right)=\frac{\sqrt6}{2},$$

то есть

$$\sqrt2\sin\left(5x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt6}{2},$$

$$\sin\left(5x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Следовательно,

$$5x-\frac{\pi}{4}=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{15}+\frac{\pi}{20}+\frac{\pi n}{5},\quad n\in\mathbb Z.$$

в) $$\cos\frac{x}{2}-\sqrt3\sin\frac{x}{2}+1=0.$$

Перенесём единицу вправо:

$$\cos\frac{x}{2}-\sqrt3\sin\frac{x}{2}=-1.$$

Представим левую часть в виде косинуса:

$$-2\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)=-1,$$

$$\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)=\frac12.$$

Тогда

$$\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Отсюда получаем два семейства решений:

$$x=-2\pi+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{2\pi}{3}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

г) $$\sin\frac{x}{3}+\cos\frac{x}{3}=1.$$

Запишем сумму в виде одной функции:

$$\sqrt{1+1}\,\cos\left(\frac{x}{3}-\arccos\frac{1}{\sqrt{1+1}}\right)=1,$$

то есть

$$\sqrt2\cos\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{4}\right)=1,$$

$$\cos\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt2}.$$

Следовательно,

$$\frac{x}{3}-\frac{\pi}{4}=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Отсюда

$$x=6\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

или

$$x=\frac{3\pi}{2}+6\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{8}-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{15}+\frac{\pi}{20}+\frac{\pi n}{5},\ n\in\mathbb Z.$$

в) $$x=-2\pi+4\pi n,\ \frac{2\pi}{3}+4\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

г) $$x=6\pi n,\ \frac{3\pi}{2}+6\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$