Упр.30.15 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

• а) $$\sqrt{3}\sin x+\cos x=1$$;
• б) $$\sin x+\cos x=\sqrt{2}$$;
• в) $$\sin x-\sqrt{3}\cos x=\sqrt{3}$$;
• г) $$\sin x-\cos x=1$$.

а) $$\sqrt{3}\sin x+\cos x=1.$$

Представим левую часть в виде одной тригонометрической функции:

$$\sqrt{3}\sin x+\cos x=2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right).$$

Тогда

$$2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=1,$$

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac12.$$

Отсюда

$$x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad x+\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,$$

$$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\sin x+\cos x=\sqrt{2}.$$

$$\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right),$$

поэтому

$$\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2},$$

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1.$$

Следовательно,

$$x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

в) $$\sin x-\sqrt{3}\cos x=\sqrt{3}.$$

Запишем левую часть в виде одной функции:

$$\sin x-\sqrt{3}\cos x=2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right).$$

Тогда

$$2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3},$$

$$\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Отсюда

$$x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad x-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$

$$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

г) $$\sin x-\cos x=1.$$

Преобразуем левую часть:

$$\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда

$$\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1,$$

$$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Следовательно,

$$x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=2\pi n,\ \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

в) $$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ \pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

г) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ \pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$