Упр.30.14 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. При каком значении параметра $$a$$ наибольшее значение функции $$y=f(x)$$ равно наименьшему значению функции $$y=g(x)$$:
   
   а) $$f(x)=7\sin 5x-24\cos 5x+a-1,\quad g(x)=3-2\cos 4x$$;
   
   б) $$f(x)=9\sin(x-2)+12\cos(x-2)-5-a,\quad g(x)=2+7\sin(2x+1)$$?

Используем тот факт, что для выражения вида $$A\sin t+B\cos t$$ наибольшее значение равно $$\sqrt{A^2+B^2}.$$

а)

$$f(x)=7\sin 5x-24\cos 5x+a-1.$$

Тогда

$$\max f(x)=\sqrt{7^2+24^2}+a-1=25+a-1=a+24.$$

Для функции

$$g(x)=3-2\cos 4x$$

наименьшее значение достигается при $$\cos 4x=1$$ и равно

$$\min g(x)=3-2=1.$$

По условию $$\max f(x)=\min g(x)$$, значит

$$a+24=1,$$

откуда

$$a=-23.$$

б)

$$f(x)=9\sin(x-2)+12\cos(x-2)-5-a.$$

Тогда

$$\max f(x)=\sqrt{9^2+12^2}-5-a=15-5-a=10-a.$$

Для функции

$$g(x)=2+7\sin(2x+1)$$

наименьшее значение равно

$$\min g(x)=2-7=-5.$$

По условию

$$10-a=-5,$$

следовательно,

$$a=15.$$

Ответ

а) $$-23$$; б) $$15$$.