Упр.30.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. При каком значении параметра $$a$$ наименьшее заданной функции равно числу $$m$$: а) $$y=-9\sin 1{,}4x-12\cos 1{,}4x+a$$, $$m=1$$; б) $$y=3{,}5\sin 0{,}2x-12\cos 0{,}2x+a$$, $$m=-1$$?

Используем формулу приведения суммы синуса и косинуса к одной тригонометрической функции:

$$A\sin x+B\cos x=R\sin(x+t), \quad R=\sqrt{A^2+B^2}.$$

а)

$$y=-9\sin 1{,}4x-12\cos 1{,}4x+a.$$

Тогда

$$-9\sin 1{,}4x-12\cos 1{,}4x=-15\sin(1{,}4x+t),$$

так как

$$R=\sqrt{(-9)^2+(-12)^2}=\sqrt{81+144}=15.$$

Значит, наименьшее значение функции равно

$$a-15.$$

По условию оно равно $$1$$, поэтому

$$a-15=1,$$

$$a=16.$$

б)

$$y=3{,}5\sin 0{,}2x-12\cos 0{,}2x+a.$$

Тогда

$$3{,}5\sin 0{,}2x-12\cos 0{,}2x=12{,}5\sin(0{,}2x+t),$$

так как

$$R=\sqrt{3{,}5^2+12^2}=\sqrt{12{,}25+144}=\sqrt{156{,}25}=12{,}5.$$

Наименьшее значение функции равно

$$a-12{,}5.$$

По условию оно равно $$-1$$, значит

$$a-12{,}5=-1,$$

$$a=11{,}5.$$

Ответ

а) $$16$$; б) $$11{,}5$$.