Упр.30.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. При каком значении параметра $$a$$ наибольшее значение заданной функции равно числу $$M$$:
   а) $$y=6\sin 1{,}5x-8\cos 1{,}5x+a$$, $$M=17$$;
   б) $$y=7\sin 0{,}3x+24\cos 0{,}3x+a$$, $$M=-17$$?

Представим выражение вида $$A\sin t+B\cos t$$ в виде одной синусоиды:

$$A\sin t+B\cos t=\sqrt{A^2+B^2}\,\sin(t-\varphi),$$

поэтому наибольшее значение такой функции равно $$\sqrt{A^2+B^2}.$$

а)

$$y=6\sin 1{,}5x-8\cos 1{,}5x+a.$$

Найдём амплитуду:

$$\sqrt{6^2+(-8)^2}=\sqrt{36+64}=10.$$

Значит, наибольшее значение функции равно $$10+a.$$

По условию это число $$17,$$ поэтому

$$10+a=17,$$

$$a=7.$$

б)

$$y=7\sin 0{,}3x+24\cos 0{,}3x+a.$$

Найдём амплитуду:

$$\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{49+576}=25.$$

Следовательно, наибольшее значение функции равно $$25+a.$$

По условию это число $$-17,$$ значит

$$25+a=-17,$$

$$a=-42.$$

Ответ

а) $$7$$; б) $$-42$$.