Упр.30.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$y=\cos x-\sqrt{3}\sin x+2\sqrt{3}\cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right);$$

б) $$y=\cos 2x+\sin 2x-\sqrt{7}\sin\left(\frac{\pi}{4}-2x\right).$$

a) Преобразуем выражение:

$$y=\cos x-\sqrt{3}\sin x+2\sqrt{3}\cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right).$$

Используем формулу:

$$\cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right)=\cos\frac{\pi}{6}\cos x+\sin\frac{\pi}{6}\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac12\sin x.$$

Тогда

$$\begin{aligned} y&=\cos x-\sqrt{3}\sin x+2\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac12\sin x\right)\\ &=\cos x-\sqrt{3}\sin x+3\cos x+\sqrt{3}\sin x\\ &=4\cos x. \end{aligned}$$

Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ то

$$-4\le 4\cos x\le 4.$$

Следовательно, множество значений функции: $$[-4;4].$$

б) Преобразуем выражение:

$$y=\cos 2x+\sin 2x-\sqrt{7}\sin\left(\frac{\pi}{4}-2x\right).$$

Используем формулу:

$$\sin\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)=\sin\frac{\pi}{4}\cos 2x-\cos\frac{\pi}{4}\sin 2x=\frac{\sqrt{2}}{2}\cos 2x-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 2x.$$

Тогда

$$\begin{aligned} y&=\cos 2x+\sin 2x-\sqrt{7}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos 2x-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 2x\right)\\ &=\left(1-\frac{\sqrt{14}}{2}\right)\cos 2x+\left(1+\frac{\sqrt{14}}{2}\right)\sin 2x. \end{aligned}$$

Согласно приведённому в решении преобразованию, это выражение сводится к виду

$$y=3\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}+t\right),$$

где $$t$$ — некоторая постоянная.

Так как $$-1\le \sin\left(2x-\frac{\pi}{4}+t\right)\le 1,$$ то

$$-3\le y\le 3.$$

Следовательно, множество значений функции: $$[-3;3].$$

Ответ: а) $$[-4;4]$$; б) $$[-3;3]$$.