Упр.30.1 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Преобразуйте данное выражение к виду $$C\sin(x+t)$$ или $$C\cos(x+t)$$:
   а) $$\sqrt{3}\sin x+\cos x$$;
   б) $$\sin x+\sqrt{3}\cos x$$;
   в) $$\sin x-\cos x$$;
   г) $$2\sin x-\sqrt{12}\cos x$$.

Используем формулы:

$$C\sin(x+t)=C(\sin x\cos t+\cos x\sin t),$$

$$C\cos(x+t)=C(\cos x\cos t-\sin x\sin t).$$

1. $$\sqrt3\sin x+\cos x=2\left(\frac{\sqrt3}{2}\sin x+\frac12\cos x\right).$$

   Здесь $$C=\sqrt{(\sqrt3)^2+1^2}=2,$$

   поэтому

   $$\frac{\sqrt3}{2}=\cos\frac{\pi}{6},\qquad \frac12=\sin\frac{\pi}{6}.$$

   Тогда

   $$\sqrt3\sin x+\cos x=2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right).$$

2. $$\sin x+\sqrt3\cos x=2\left(\frac12\sin x+\frac{\sqrt3}{2}\cos x\right).$$

   Здесь $$C=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=2,$$

   поэтому

   $$\frac12=\cos\frac{\pi}{3},\qquad \frac{\sqrt3}{2}=\sin\frac{\pi}{3}.$$

   Тогда

   $$\sin x+\sqrt3\cos x=2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right).$$

3. $$\sin x-\cos x=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\sin x-\frac{\sqrt2}{2}\cos x\right).$$

   Здесь $$C=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt2,$$

   поэтому

   $$\frac{\sqrt2}{2}=\cos\frac{\pi}{4},\qquad -\frac{\sqrt2}{2}=-\sin\frac{\pi}{4}.$$

   Тогда

   $$\sin x-\cos x=\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$

4. $$2\sin x-\sqrt{12}\cos x=4\left(\frac12\sin x-\frac{\sqrt3}{2}\cos x\right).$$

   Здесь $$C=\sqrt{2^2+(\sqrt{12})^2}=\sqrt{4+12}=4,$$

   поэтому

   $$\frac12=\cos\frac{\pi}{3},\qquad \frac{\sqrt3}{2}=\sin\frac{\pi}{3}.$$

   Тогда

   $$2\sin x-\sqrt{12}\cos x=4\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right).$$

Ответ: а) $$2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right);$$ б) $$2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right);$$ в) $$\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right);$$ г) $$4\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right).$$