Упр.3.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, у которого один из корней равен:

Составим квадратное уравнение по заданному корню, взяв второй корень, удобный для получения целых коэффициентов.

а)

Если один из корней равен $$x=\sqrt{2},$$ то можно взять второй корень $$x=-\sqrt{2}.$$ Тогда

$$(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})=0$$

$$x^2-2=0.$$

б)

Если один из корней равен $$x=\sqrt{3}-5,$$ то возьмём второй корень $$x=-\sqrt{3}-5.$$ Тогда

$$(x-(\sqrt{3}-5))(x-(-\sqrt{3}-5))=0$$

$$(x-\sqrt{3}+5)(x+\sqrt{3}+5)=0$$

$$x^2+10x+22=0.$$

в)

Если один из корней равен $$x=\sqrt{5}-2,$$ то возьмём второй корень $$x=-\sqrt{5}-2.$$ Тогда

$$(x-(\sqrt{5}-2))(x-(-\sqrt{5}-2))=0$$

$$(x-\sqrt{5}+2)(x+\sqrt{5}+2)=0$$

$$x^2+4x-1=0.$$

г)

Если один из корней равен $$x=\sqrt{3}-\sqrt{8},$$ то второй корень будет $$x=-\sqrt{3}-\sqrt{8}.$$ Тогда

$$(x-(\sqrt{3}-\sqrt{8}))(x-(-\sqrt{3}-\sqrt{8}))=0$$

$$(x-\sqrt{3}+\sqrt{8})(x+\sqrt{3}+\sqrt{8})=0$$

$$x^2+2\sqrt{8}\,x+5=0.$$

Такое уравнение не имеет целых коэффициентов, так как $$2\sqrt{8}=4\sqrt{2}$$ — иррациональное число. Значит, составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами нельзя.

Ответ

а) $$x^2-2=0$$; б) $$x^2+10x+22=0$$; в) $$x^2+4x-1=0$$; г) такого уравнения не существует.