Упр.3.8 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Приведите пример, если это возможно, двух иррациональных различных чисел, таких, что одновременно:

а) их сумма и разность — рациональные числа;

б) их произведение и частное — рациональные числа.

а) Пусть $$a$$ и $$b$$ — данные иррациональные числа, причём

$$a+b=r,\quad a-b=k,$$

где $$r\in \mathbb{Q}$$ и $$k\in \mathbb{Q}$$. Тогда

$$b=r-a,$$

$$a-(r-a)=k,$$

$$2a=k+r,$$

$$a=\frac{k+r}{2}\in \mathbb{Q}.$$

Получаем противоречие: $$a$$ не может быть иррациональным. Значит, таких чисел не существует.

Ответ: нет.

б) Возьмём, например,

$$a=\sqrt{338},\quad b=\sqrt{2}.$$

Тогда

$$ab=\sqrt{338}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{676}=26,$$

$$\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{338}}{\sqrt{2}}=\sqrt{169}=13.$$

Оба числа $$ab$$ и $$\frac{a}{b}$$ — рациональные.

Ответ: $$\sqrt{338}$$ и $$\sqrt{2}$$.