Упр.3.4 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Каким числом, рациональным или иррациональным, является:
а) сумма рационального и иррационального чисел;
б) разность рационального и иррационального чисел;
в) произведение не равного нулю рационального числа и иррационального числа;
г) частное рационального, не равного нулю числа, и иррационального числа?

Пусть $$q$$ и $$r$$ — рациональные числа, а $$i$$ — иррациональное число.

1. Сумма рационального и иррационального чисел является иррациональным числом. Иначе, если бы $$q+i=r$$, где $$r$$ — рациональное число, то

   $$i=r-q,$$

   а разность рациональных чисел рациональна. Получили бы противоречие.

2. Разность рационального и иррационального чисел является иррациональным числом. Иначе, если бы $$q-i=r,$$ где $$r$$ — рациональное число, то

   $$i=q-r,$$

   а разность рациональных чисел рациональна. Получили бы противоречие.

3. Произведение ненулевого рационального числа и иррационального числа является иррациональным числом. Иначе, если бы $$q\cdot i=r,$$ где $$q\neq 0$$ и $$r$$ — рациональное число, то

   $$i=\frac{r}{q},$$

   а частное рациональных чисел рационально. Получили бы противоречие.

4. Частное ненулевого рационального и иррационального чисел является иррациональным числом. Иначе, если бы $$\frac{q}{i}=r,$$ где $$q\neq 0$$ и $$r$$ — рациональное число, то

   $$i=\frac{q}{r},$$

   а частное рациональных чисел рационально. Получили бы противоречие.

Ответ: во всех случаях — иррациональным числом.