Упр.3.2 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Используя результат 3.1, докажите иррациональность числа:

Используем результат из задания 3.1: если рациональное число умножить на иррациональное, то получится иррациональное число; если к иррациональному числу прибавить или вычесть рациональное, то снова получится иррациональное число.

1. $$5\sqrt{2}$$

   Число $$5$$ — рациональное, а $$\sqrt{2}$$ — иррациональное. Значит, $$5\sqrt{2}$$ — иррациональное число.

2. $$-7\sqrt{3}$$

   Число $$-7$$ — рациональное, а $$\sqrt{3}$$ — иррациональное. Следовательно, $$-7\sqrt{3}$$ — иррациональное число.

3. $$5(1-\sqrt{3})$$

   Так как $$1$$ — рациональное число, а $$\sqrt{3}$$ — иррациональное, то $$1-\sqrt{3}$$ — иррациональное число. Тогда произведение рационального числа $$5$$ на иррациональное число $$1-\sqrt{3}$$ также иррационально.

4. $$\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{12}$$

   Числа $$\sqrt{3}$$ и $$\sqrt{15}$$ иррациональны, значит их сумма $$\sqrt{3}+\sqrt{15}$$ иррациональна. Деление иррационального числа на рациональное число $$12$$ не делает его рациональным, поэтому $$\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{12}$$ — иррациональное число.

Ответ: все указанные числа иррациональны.