Упр.3.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Докажите, что для любого иррационального числа $$a$$ найдётся такое рациональное число $$P$$, что произведение $$aP$$ — рациональное число.
   б) Докажите, что если точка $$(x; y)$$ лежит на прямой $$y=kx+b$$, где $$k\ne0$$, $$b$$ — рациональные числа, то числа $$x$$ и $$y$$ или оба рациональные, или оба иррациональные.

а) Возьмём любое рациональное число $$k\neq 0$$ и положим

$$\beta=\frac{k}{\alpha}.$$

Если бы число $$\beta$$ было рациональным, то

$$\alpha=\frac{k}{\beta}$$

было бы рациональным, так как частное двух рациональных чисел рационально. Это противоречит тому, что $$\alpha$$ — иррациональное число.

Значит, $$\beta$$ иррационально. При этом

$$\alpha\beta=\alpha\cdot \frac{k}{\alpha}=k\in \mathbb{Q}.$$

Следовательно, для любого иррационального числа $$\alpha$$ найдётся иррациональное число $$\beta$$, такое что произведение $$\alpha\beta$$ — рациональное.

б) Пусть точка $$\left(x;y\right)$$ лежит на прямой $$y=kx+b,$$ где $$k\neq 0,$$ $$b\in \mathbb{Q}.$$ Докажем, что числа $$x$$ и $$y$$ либо оба рациональные, либо оба иррациональные.

Предположим, что $$x\in \mathbb{Q}.$$ Тогда

$$y=kx+b\in \mathbb{Q},$$

так как произведение рациональных чисел и их сумма рациональны.

Теперь предположим, что $$y\in \mathbb{Q}.$$ Тогда из уравнения прямой получаем

$$kx=y-b,$$

откуда

$$x=\frac{y-b}{k}\in \mathbb{Q},$$

поскольку $$y-b\in \mathbb{Q}$$ и $$k\in \mathbb{Q},\ k\neq 0.$$

Итак, если одно из чисел $$x$$ и $$y$$ рационально, то и другое рационально. Значит, они либо оба рациональные, либо оба иррациональные.

Ответ

а) Существует иррациональное число $$\beta$$, такое что $$\alpha\beta\in \mathbb{Q}.$$
б) Числа $$x$$ и $$y$$ либо оба рациональные, либо оба иррациональные.