Упр.3.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Докажите, что существует такое иррациональное число $$a$$, что число $$c$$ является натуральным:

а) Пусть $$c=a+\frac{1}{a}.$$ Тогда

$$ca=a^2+1,$$

$$a^2-ca+1=0.$$

Рассматривая это как квадратное уравнение относительно $$a,$$ получаем

$$D=c^2-4,$$

$$a=\frac{c\pm\sqrt{c^2-4}}{2}.$$

Возьмём, например, $$a=3-\sqrt{8}.$$ Это иррациональное число. Тогда

$$c=a+\frac{1}{a}=3-\sqrt{8}+\frac{1}{3-\sqrt{8}}.$$

Так как

$$\frac{1}{3-\sqrt{8}}=3+\sqrt{8},$$

то

$$c=3-\sqrt{8}+3+\sqrt{8}=6.$$

Следовательно, существует иррациональное число $$a,$$ для которого $$c$$ — натуральное число.

б) Пусть $$c=a^2+a.$$ Тогда

$$a^2+a-c=0.$$

Отсюда

$$D=1+4c,$$

$$a=\frac{-1\pm\sqrt{1+4c}}{2}.$$

Возьмём, например, $$a=\frac{\sqrt{13}-1}{2}.$$ Это иррациональное число. Тогда

$$c=a^2+a=\left(\frac{\sqrt{13}-1}{2}\right)^2+\frac{\sqrt{13}-1}{2}.$$

Вычислим:

$$c=\frac{13-2\sqrt{13}+1}{4}+\frac{2\sqrt{13}-2}{4}=\frac{12}{4}=3.$$

Значит, и в этом случае существует иррациональное число $$a,$$ при котором $$c$$ — натуральное число.

Ответ: в обоих пунктах утверждение доказано; например, $$a=3-\sqrt{8}$$ даёт $$c=6,$$ а $$a=\frac{\sqrt{13}-1}{2}$$ даёт $$c=3.$$