Упр.3.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Докажите, что найдётся пара иррациональных чисел $$a$$ и $$p$$ таких, что:

1. $$a^2-p$$ — натуральное число;
2. $$2a^2+3p$$ — целое отрицательное число.

Возьмём иррациональные числа, для которых нужные выражения принимают требуемые значения.

1. Пусть $$\alpha=2+\sqrt{3}, \qquad \beta=4\sqrt{3}.$$ Тогда $$\alpha^2=(2+\sqrt{3})^2=4+4\sqrt{3}+3=7+4\sqrt{3},$$ значит

   $$\alpha^2-\beta=(7+4\sqrt{3})-4\sqrt{3}=7,$$

   то есть получаем натуральное число.

2. Пусть $$\alpha=3-\sqrt{2}, \qquad \beta=4\sqrt{2}-20.$$ Тогда

   $$\alpha^2=(3-\sqrt{2})^2=9-6\sqrt{2}+2=11-6\sqrt{2},$$

   и

   $$2\alpha^2+3\beta=2(11-6\sqrt{2})+3(4\sqrt{2}-20)=22-12\sqrt{2}+12\sqrt{2}-60=-38.$$

   Это целое отрицательное число.

Следовательно, такие пары иррациональных чисел существуют.

Ответ

а) $$\alpha=2+\sqrt{3},\ \beta=4\sqrt{3};$$ б) $$\alpha=3-\sqrt{2},\ \beta=4\sqrt{2}-20.$$