Упр.3.1 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Докажите иррациональность числа:

Докажем иррациональность каждого из данных чисел.

1. $$\sqrt{2}$$

   Предположим, что $$\sqrt{2}$$ — рациональное число. Тогда $$\sqrt{2}=\dfrac{m}{n}$$, где $$m$$ и $$n$$ — взаимно простые целые числа, $$n\neq 0$$.

   Возведём в квадрат:

   $$2=\frac{m^2}{n^2}$$

   Отсюда

   $$m^2=2n^2.$$

   Значит, $$m^2$$ чётно, следовательно, $$m$$ тоже чётно. Пусть $$m=2k$$. Тогда

   $$4k^2=2n^2 \Rightarrow n^2=2k^2,$$

   то есть $$n$$ тоже чётно. Получили, что $$m$$ и $$n$$ делятся на 2, что противоречит их взаимной простоте. Значит, $$\sqrt{2}$$ — иррациональное число.

2. $$\sqrt{3}$$

   Предположим, что $$\sqrt{3}=\dfrac{m}{n}$$, где $$m$$ и $$n$$ — взаимно простые целые числа, $$n\neq 0$$.

   Тогда

   $$3=\frac{m^2}{n^2}, \qquad m^2=3n^2.$$

   Следовательно, $$m^2$$ делится на 3, значит, $$m$$ делится на 3. Пусть $$m=3k$$. Тогда

   $$9k^2=3n^2 \Rightarrow n^2=3k^2,$$

   то есть $$n$$ тоже делится на 3. Это противоречит взаимной простоте $$m$$ и $$n$$. Значит, $$\sqrt{3}$$ иррационально.

3. $$1-\sqrt{3}$$

   Предположим, что $$1-\sqrt{3}$$ — рациональное число. Тогда и

   $$\sqrt{3}=1-(1-\sqrt{3})$$

   тоже было бы рациональным, что противоречит предыдущему пункту. Значит, $$1-\sqrt{3}$$ иррационально.

4. $$\sqrt{3}-\sqrt{15}$$

   Предположим, что $$\sqrt{3}-\sqrt{15}=r$$, где $$r$$ — рациональное число.

   Тогда

   $$(\sqrt{3}-\sqrt{15})^2=r^2$$

   и

   $$3-2\sqrt{45}+15=r^2.$$

   Так как $$\sqrt{45}=3\sqrt{5}$$, получаем

   $$18-6\sqrt{5}=r^2,$$

   откуда

   $$\sqrt{5}=\frac{18-r^2}{6}.$$

   Правая часть рациональна, значит, $$\sqrt{5}$$ было бы рациональным числом. Но это неверно. Противоречие. Следовательно, $$\sqrt{3}-\sqrt{15}$$ — иррациональное число.

Ответ: $$\sqrt{2},\ \sqrt{3},\ 1-\sqrt{3},\ \sqrt{3}-\sqrt{15}$$ — иррациональные числа.