Упр.29.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

$$4\sin x\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right)=\sin 3x$$
$$\operatorname{tg}x\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3}+x\right)=\operatorname{tg}3x$$

Подробный ответ

а) Используем формулу произведения синусов:

$$2\sin A\sin B=\cos(A-B)-\cos(A+B).$$

Тогда

$$4\sin x\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right) =2\sin x\Bigl(\cos 2x-\cos\frac{2\pi}{3}\Bigr).$$

Так как $$\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12,$$ получаем

$$2\sin x\left(\cos 2x+\frac12\right) =2\sin x\cos 2x+\sin x.$$

По формуле $$2\sin x\cos 2x=\sin(3x)-\sin x,$$ имеем

$$2\sin x\cos 2x+\sin x=\sin 3x.$$

Следовательно,

$$4\sin x\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right)=\sin 3x.$$
Тождество доказано.

б) Преобразуем левую часть:

$$\tg x\cdot \tg\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\cdot \tg\left(\frac{\pi}{3}+x\right) =\tg x\cdot \frac{\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right)} {\cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}+x\right)}.$$

Используем формулы:

$$\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right) =\frac{\cos 2x-\cos\frac{2\pi}{3}}{2},$$

$$\cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}+x\right) =\frac{\cos 2x+\cos\frac{2\pi}{3}}{2}.$$

Так как $$\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12,$$ то

$$\tg x\cdot \frac{\cos 2x+\frac12}{\cos 2x-\frac12}.$$

Подставим $$\tg x=\frac{\sin x}{\cos x}$$ и умножим числитель и знаменатель на $$2$$:

$$\frac{\sin x}{\cos x}\cdot \frac{2\cos 2x+1}{2\cos 2x-1}.$$

С учётом формул $$2\cos 2x+1=\frac{\sin 3x}{\sin x}\cos x$$ и $$2\cos 2x-1=\frac{\cos 3x}{\cos x}$$ получаем

$$\frac{\sin 3x}{\cos 3x}=\tg 3x.$$

Значит,

$$\tg x\cdot \tg\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\cdot \tg\left(\frac{\pi}{3}+x\right)=\tg 3x.$$
Тождество доказано.

Ответ: оба тождества верны.